Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-$\sqrt{3}$cosx），求函数f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1的周期和单调增区间．

Answer 1

分析 运用数量积得出函数f（x）=sin2x=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），再运用三角函数的性质得出周期T=$\frac{2π}{2}$=π，2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈z，求解得出单调区间．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-$\sqrt{3}$cosx），
∴函数f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1=2cos²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx-1=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
即∵2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈z，
∴k$π-\frac{5π}{12}$≤x≤k$π+\frac{π}{12}$，k∈z，
故单调递增区间为[k$π-\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{π}{12}$]k∈z

点评 本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的周期公式、单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．