Question

18．已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为12，此时，直线l的方程为2x+3y-12=0．

Answer 1

分析 设直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，a和b为正数，可得$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，由基本不等式可得ab≥24，由等号成立的条件可得直线方程．

解答 解：由题意设直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，其中a和b为正数，
∵直线l过点P（3，2），∴$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，
∴1=$\frac{3}{a}$+$\frac{2}{b}$≥2$\sqrt{\frac{3}{a}•\frac{2}{b}}$=2$\sqrt{\frac{6}{ab}}$，∴ab≥24，
当且仅当$\frac{3}{a}$=$\frac{2}{b}$即a=6且b=4时取等号，
∴△OAB面积S=$\frac{1}{2}ab$≥12，即最小值为12，
此时直线方程为$\frac{x}{6}$+$\frac{y}{4}$=1，
化为一般式可得2x+3y-12=0；
故答案为：12；2x+3y-12=0

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程和三角形的面积，属基础题．