Question

8．已知a、b、c∈R₊，证明1＜$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$＜2．

Answer 1

分析 从不等式的特征看，问题是如何把中间三项通过放缩使它们分母相同，以便进行化简，从而获得证明．

解答 证明：∵a、b、c∈R₊，
∴$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$＞$\frac{a}{a+b+c}$+$\frac{b}{a+b+c}$+$\frac{c}{a+b+c}$=1，
$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$＜$\frac{a+c}{a+b+c}$+$\frac{a+b}{a+b+c}$+$\frac{b+c}{a+b+c}$=2，
∴1＜$\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$+$\frac{c}{c+a}$＜2．

点评 本题考查不等式的证明，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确放缩是关键．