Question

13．已知数列{a_n}是公差d＞0的等差数列，且a₂+a₃=7，a₂•a₃=12，数列{b_n}是等比数列，公比q=b₁=$\frac{4}{9}$a₁．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，试判断数列{c_n}是否有最大值；若有最大值，则求出第几项最大，最大值是多少？若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）c_n=a_n•b_n=$（n+1）•（\frac{8}{9}）^{n}$，作商可得：$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}•\frac{8}{9}$，令$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}≥1$，解得n≤7，即可得出数列的单调性，进而得出结论．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是公差d＞0的等差数列，且a₂+a₃=7，a₂•a₃=12，
∴a₂=3，a₃=4，d=4-3=1，
2a₁+3×1=7，解得a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∵数列{b_n}是等比数列，公比q=b₁=$\frac{4}{9}$a₁=$\frac{8}{9}$．
∴${b}_{n}=（\frac{8}{9}）^{n}$．
（2）c_n=a_n•b_n=$（n+1）•（\frac{8}{9}）^{n}$，
$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}•\frac{8}{9}$，
令$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}≥1$，解得n≤7，
∴数列c₁＜c₂＜…＜c₇=c₈＞c₉＞…．
∴当n=7或8时，数列{c_n}有最大值，c₇=c₈=$\frac{{8}^{8}}{{9}^{7}}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．