Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与抛物线y²=2px（p＞0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点$（-5，-\frac{15}{4}）$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，点$（-5，-\frac{15}{4}）$在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=10，进而可得抛物线的焦点坐标，可得c的值由点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得a，b，进而可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为$（-5，-\frac{15}{4}）$，
即点$（-5，-\frac{15}{4}）$在抛物线的准线上，则p=10，
则抛物线的焦点为（5，0）；
因为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与抛物线y²=2px（p＞0）有相同的焦点，
所以c=5，
因为点$（-5，-\frac{15}{4}）$在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±$\frac{3}{4}$x，
所以a=4，b=3
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$
故选B．

点评 本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为$（-5，-\frac{15}{4}）$”这一条件的运用是关键．