Question

10．若向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）$⊥\overrightarrow{a}$，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角等于$\frac{π}{4}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据条件得出$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=2，运用数量积的定义式得出cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$即可求出夹角，
根据向量的模与乘法的转化|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=（$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，即可求解向量的模．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）$⊥\overrightarrow{a}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=2，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$，
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=（$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2+4+4=10
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{10}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$；$\sqrt{10}$．

点评 本题综合考查了平面向量的性质，运算，求解夹角，模，属于基本题目，难度不大，计算仔细些，书写规范即可．