Question

20．已知在△ABC中，sin²A=sinBsinC．
（1）若∠A=$\frac{π}{3}$，求∠B的大小；
（2）若bc=1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由sin²A=sinBsinC．利用正弦定理可得a²=bc，再利用余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，代入即可得出．
（2）由bc=1，a²=bc，利用余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-1}{2}$，再利用基本不等式的性质及其三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵sin²A=sinBsinC．由正弦定理可得a²=bc，
由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴$\frac{1}{2}=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-bc}{2bc}$，化为（b-c）²=0，
∴b=c．
∴△ABC是等边三角形，
∴$B=\frac{π}{3}$．
（2）∵bc=1，a²=bc，
由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-1}{2}$$≥\frac{2bc-1}{2}$=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）．
∴$0＜A≤\frac{π}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}$sinA$≤\frac{1}{2}sin\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴△ABC的面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质及其三角形的面积计算公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．