Question

12．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（1，cosx），x∈R．函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），求f（x）的最大值和周期．

Answer 1

分析 根据向量的坐标运算、数量积运算、平方关系化简f（x），配方后利用二次函数和正弦函数的性质求出f（x）的最大值和周期．

解答 解：由题意得，$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（1，cosx），
所以f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=（sinx，cosx）•（1+sinx，2cosx）
=sinx（1+sinx）+2cos²x=sinx+cos²x+1
=-sin²x+sinx+2=$-（sinx-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$，
所以当sinx=$\frac{1}{2}$时，f（x）取到最大值是$\frac{9}{4}$，
且f（x）的周期T=2π．

点评 本题考查向量的坐标运算、数量积运算，二次函数和正弦函数的性质，以及配方法的应用，属于中档题．