Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n=2n-33，记b_n=$\frac{Sn}{n•{2}^{n}}$，则b_n取最大值时，n=33或34．

Answer 1

分析 由于a_n=2n-33，可知：数列{a_n}是等差数列，S_n=n（n-32），可得b_n=$\frac{n-32}{{2}^{n}}$，当n≤32时，b_n≤0；当n≥33时，b_n＞0，作差b_n-b_n+1=$\frac{n-33}{{2}^{n+1}}$，即可判断出取得最大值时的n的值．

解答 解：∵a_n=2n-33，
∴数列{a_n}是等差数列，S_n=$\frac{n（-31+2n-33）}{2}$=n（n-32），
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{n•{2}^{n}}$=$\frac{n（n-32）}{n•{2}^{n}}$=$\frac{n-32}{{2}^{n}}$，
当n≤32时，b_n≤0；
当n≥33时，b_n＞0，
此时b_n-b_n+1=$\frac{n-32}{{2}^{n}}-\frac{n-31}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n-33}{{2}^{n+1}}$，
当n=33时，b₃₃=b₃₄＞0，
当n≥34时，b_n＞b_n+1，此时数列{b_n}单调递减．
综上可得：只有当n=33或34时，b_n取最大值$\frac{1}{{2}^{33}}$．
故答案为：33或34．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．