Question

1．已知抛物线C的方程为y²=4x，点M（4，0），过点M且垂直于x轴的直线l交抛物线于A、B两点．设P是抛物线上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴于点Q，直线PA、PB的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求$\frac{PM}{PQ}$的最小值；
（2）求证：|${\frac{1}{k_1}-\frac{1}{k_2}}$|为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）设P（x₀，y₀），则${y_0}^2=4{x_0}$，利用两点之间的距离公式可得：$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ{|}^{2}}$=${（{\frac{4}{x_0}-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}$，利用二次函数的单调性即可得出．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=4\end{array}\right.$，解出可得A（4，4），B（4，-4）．再利用斜率计算公式即可证明．

解答 解：（1）设P（x₀，y₀），
则${y_0}^2=4{x_0}$，
$\frac{{P{M^2}}}{{P{Q^2}}}=\frac{{{{（{{x_0}-4}）}^2}+{y_0}^2}}{{{x_0}^2}}=\frac{{{x_0}^2-4{x_0}+16}}{{{x_0}^2}}$=$1-\frac{4}{x_0}+\frac{16}{{{x_0}^2}}$=${（{\frac{4}{x_0}-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}$，
∴当$\frac{4}{x_0}=\frac{1}{2}$时，即x₀=8时，${（{\frac{{P{M^2}}}{{P{Q^2}}}}）_{min}}=\frac{3}{4}$，
故${（{\frac{PM}{PQ}}）_{min}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（2）证明：联立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=4\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=±4\end{array}\right.$，
∴A（4，4），B（4，-4）．
则$|{\frac{1}{k_1}-\frac{1}{k_2}}|=|{\frac{{4-{x_0}}}{{4-{y_0}}}-\frac{{4-{x_0}}}{{-4-{y_0}}}}|=|{\frac{{8（{4-{x_0}}）}}{{16-{y_0}^2}}}|=|{\frac{{8（{4-{x_0}}）}}{{16-4{x_0}}}}|=2$为定值．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、二次函数单调性、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．