Question

6．已知抛物线C：y²=2x的焦点为F，抛物线C上的两点A，B满足$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$．若点T（-$\frac{1}{2}$，0），则$\frac{|TA|}{|TB|}$的值为2．

Answer 1

分析 设A（$\frac{{m}^{2}}{2}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{2}$，n），y²=2x的焦点为F（$\frac{1}{2}$，0），求得向量AF，FB的坐标，运用向量共线的坐标表示，解方程可得m，n，进而得到A，B的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到．

解答 解：设A（$\frac{{m}^{2}}{2}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{2}$，n），
y²=2x的焦点为F（$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{1}{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$，-m），$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$，n），
由$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，
则有m=-2n，m²+2n²=3，
解得m=-$\sqrt{2}$，n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或m=$\sqrt{2}$，n=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有A（1，-$\sqrt{2}$），B（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
或A（1，$\sqrt{2}$），B（$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
|TA|=$\sqrt{\frac{9}{4}+2}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，|TB|=$\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{4}$．
则$\frac{|TA|}{|TB|}$的值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，同时考查向量共线的坐标表示和两点的距离公式的运用，属于中档题．