Question

18．若直线l：x+my+c=0与抛物线y²=2x交于A、B两点，O点是坐标原点．
（1）当m=-1，c=-2时，求证：OA⊥OB；
（2）若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点，并求出这个定点坐标．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线和抛物线方程，消去x，运用韦达定理，结合两直线垂直的条件，证得
x₁x₂+y₁y₂=0，即可得证；
（2）运用两直线垂直的条件，结合韦达定理，可得c=-2，再由直线恒过定点的求法，即可得到定点．

解答 证明：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+my+c=0}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，消去x，得y²+2my+2c=0，
即有y₁+y₂=-2m，y₁y₂=2c，
则x₁+x₂=2m²-2c，x₁x₂=c²，
当m=-1，c=-2时，x₁x₂+y₁y₂=4-4=0，
则有OA⊥OB；
（2）当OA⊥OB，有x₁x₂+y₁y₂=0，
由（1）可得c²+2c=0，
解得c=-2（c=0舍去），
则直线为x+my-2=0，
令y=0，则x=2．
即有直线l恒过定点，这个定点坐标为（2，0）．

点评 本题考查抛物线的方程的运用，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．