Question

8．若存在满足$\frac{1}{x}+\frac{m}{y}$=1（m＞0，且m为常量）的变量x，y（x＞0，y＞0）使得表达式x+y-$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值，则m的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，2）
• B． （$\frac{1}{3}$，3）
• C． [1，3]
• D． [$\frac{1}{4}$，1]

Answer 1

分析 设x=rcosθ，y=rsinθ可得r=$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{m}{sinθ}$，换元可得f（θ）的表达式，由f′（θ）=0，可得m=$\frac{cosθ-（-1）}{sinθ-（-1）}$，由斜率的几何意义可得．

解答 解：由题意设x=rcosθ，y=rsinθ，（r＞0，0＜θ＜$\frac{π}{2}$）
∵$\frac{1}{x}+\frac{m}{y}$=1，∴r=$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{m}{sinθ}$，
∴f（θ）=x+y-$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=r（sinθ+cosθ-1）
=（$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{m}{sinθ}$）（sinθ+cosθ-1）=1+m+$\frac{sinθ-1}{cosθ}$+$\frac{m（cosθ-1）}{sinθ}$，
求导数可得f′（θ）=$\frac{co{s}^{2}θ+cosθ（sinθ-1）}{co{s}^{2}θ}$+$\frac{-msi{n}^{2}θ-m（cosθ-1）cosθ}{si{n}^{2}θ}$，
令f′（θ）=0，可得m=$\frac{cosθ-（-1）}{sinθ-（-1）}$，
m表示动点Q（cosθ，sinθ）到定点P（-1，-1）的斜率，
又可得动点Q的轨迹为的单位圆在第一象限的部分，
由图可知：斜率的最大值为k_PB=2，最小值为k_PA=$\frac{1}{2}$，
∴m的范围为（$\frac{1}{2}$，2）．
故选：A

点评 本题考查函数的最值，涉及三角换元和数形结合的思想，涉及斜率公式和导数，属难题．