Question

18．已知函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解关于x的不等式 f（x）＞2
（2）若不等式$f（x）≥ax+\frac{a}{2}-\frac{7}{2}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，去掉绝对值，再解不等式即可；
（2）利用函数的图象，可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）x≤-$\frac{1}{2}$时，不等式化为-x-5＞2，可得x＜-7；
-$\frac{1}{2}$＜x＜4时，不等式化为3x-3＞2，可得$\frac{5}{3}$＜x＜4；
x≥4时，不等式化为x+5＞2，可得x≥4；
∴不等式解集为$（{-∞，-7}）∪（{\frac{5}{3}，+∞}）$…（5分）
（2）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x+5}&{x≥4}&{\;}\\{3x-3}&{-\frac{1}{2}＜x＜4}&{\;}\\{-x-5}&{x≤-\frac{1}{2}}&{\;}\end{array}$
y=ax+$\frac{a}{2}$-$\frac{7}{2}$恒过（-0.5，-3.5）
所以由函数的图象可得-1≤a≤1

点评 本题考查不等式的解法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．