Question

9．已知2sin²x-cos²x+sinxcosx-6sinx+3cosx=0，求$\frac{2co{s}^{2}x+2sinxcosx}{1+tanx}$的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 tanx=$\frac{1}{2}$，再由倍角公式和万能公式化简要求的式子为$\frac{2}{1+ta{n}^{2}x}$，从而求得结果．

解答 解：∵2sin²x-cos²x+sinxcosx-6sinx+3cosx=0，
∴（sinx+cosx）（2sinx-cosx）-3（2sinx-cosx）=0，
 即（2sinx-cosx）（sinx+cosx-3）=0．
显然sinx+cosx-3≠0，∴2sinx-cosx=0，
即 tanx=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{2co{s}^{2}x+2sinxcosx}{1+tanx}$=$\frac{1+cos2x+sin2x}{1+tanx}$=$\frac{1+\frac{1-ta{n}^{2}x}{1+ta{n}^{2}x}+\frac{2tanx}{1+ta{n}^{2}x}}{1+tanx}$=$\frac{2}{1+ta{n}^{2}x}$=$\frac{2}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{8}{5}$．

点评 本题主要考查利用同角三角函数的基本关系进行化简求值，考查了倍角公式及万能公式的应用，属于基本知识的考查．