Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x-3）²+y²=9相交于A、B两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． 8
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与半弦长，圆心到直线的距离满足的勾股定理求解即可．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线：bx-ay=0，圆（x-3）²+y²=9相交于A、B两点，圆的圆心（3，0），半径为3，圆心到直线的距离为：2$\sqrt{2}$，|AB|=2，
可得：$\frac{3b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=2\sqrt{2}$．解得b=2$\sqrt{2}$a．c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=3a．
双曲线的离心率为3．
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．