Question

10．如图，已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，|F₁F₂|=8，P是双曲线右支上的一点，直线F₂P与y轴交于点A，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，若|PQ|=2，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由圆锥曲线的定义及图中的相等关系推出a，从而求出离心率．

解答 解：如图记AF₁、AF₂与△APF₁的内切圆相切于N、M；
则AN=AM，PM=PQ，NF₁=QF₁，AF₁=AF₂；
则NF₁=AF₁-AN=AF₂-AM=MF₂；
则QF₁=MF₂；
则PF₁-PF₂=（QF₁+PQ）-（MF₂-PM）
=QF₁+PQ-MF₂+PM
=PQ+PM=2PQ=4，
即2a=4，则a=2．
由F₁F₂=8=2c，得c=4，
则e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：C．

点评 本题考查了学生的作图能力及识图能力，要从图中找到等量关系从而求出a，属于中档题．