Question

2．已知函数f（x）=x²-ax-a．
（Ⅰ）若存在实数x，使f（x）＜0，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=|f（x）|，若任意实数a，存在x₀∈[0，1]使不等式g（x₀）≥k成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）配方求出f（x）的最小值由最小值小于0求得实数a的范围；
（Ⅱ）对a分类求出g（x）在区间[0，1]上的最大值为M（a），然后利用单调性求出函数M（a）的最小值求得k的值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²-ax-a=$（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-a$，
当且仅当$-\frac{{a}^{2}}{4}-a＜0$时，存在实数x使f（x）＜0，
解得a＜-4或a＞0；
（Ⅱ）记g（x）=|f（x）|=|$（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-a$|在区间[0，1]上的最大值为M（a），
（1）当$\frac{a}{2}≤0$时，f（x）在区间[0，1]上递增，且f（0）=-a≥0，
∴当x∈[0，1]时，g（x）_max=f（x）_max=f（1）=1-2a，
（2）当$0＜\frac{a}{2}≤1$，即0＜a≤2时，f（0）=-a＜0，
∴g（x）_max=max{$g（\frac{a}{2}），g（1）$}=max{$\frac{{a}^{2}}{4}+a，|1-2a|$}．
①当0$＜a≤\frac{1}{2}$时，g（x）_max=max{$\frac{{a}^{2}}{4}+a，1-2a$}．
1°当0$＜a≤-6+2\sqrt{10}$时，$\frac{{a}^{2}}{4}+a≤1-2a$，∴g（x）_max=1-2a；
2°当$-6+2\sqrt{10}＜a≤\frac{1}{2}$时，$\frac{{a}^{2}}{4}+a＞1-2a$，∴$g（x）_{max}=\frac{{a}^{2}}{4}+a$；
②当$\frac{1}{2}＜a≤2$时，g（x）在区间（0，$\frac{a}{2}$）上递增，在（$\frac{a}{2}，1$）上递减，
∴$g（x）_{max}=g（\frac{a}{2}）=\frac{{a}^{2}}{4}+a$；
（3）当$\frac{a}{2}＞1$，即a＞2时，f（x）在区间[0，1]上递减，且f（0）=-a＜0，
∴g（x）_max=g（1）=2a-1．
综上所述，$M（a）=\left\{\begin{array}{l}{1-2a，a≤-6+2\sqrt{10}}\\{\frac{{a}^{2}}{4}+a，-6+2\sqrt{10}＜a≤2}\\{2a-1，a≥2}\end{array}\right.$，
由题意可知，k≤M（a）_min，
当a$≤-6+2\sqrt{10}$时，M（a）为减函数，∴$M（a）_{min}=M（-6+2\sqrt{10}）=13-4\sqrt{10}$；
当-6+$2\sqrt{10}＜a≤2$时，M（a）为增函数，∴$M（a）_{min}=M（-6+2\sqrt{10}）=13-4\sqrt{10}$；
当a≥2时，M（a）=2a-1为增函数，∴M（a）_min=M（2）=3．
综上所述，M（a）的最小值为$13-4\sqrt{10}$，即k∈（-∞，13-4$\sqrt{10}$]．

点评 本题考查了恒成立问题，着重考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，正确的分类是解决该题的关键，解决该题需要考生有清晰的思路，属难度较大的题目．