Question

12．已知k为实数，对于实数a和b，定义运算”*“：a*b=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-kab，a≤b}\\{{b}^{2}-kab，a＞b}\end{array}\right.$，设f（x）=（2x-1）*（x-1）．
（1）若f（x）在[-$\frac{1}{2}$，0]上为增函数，求实数k的取值范围；
（2）若方程f（x）=0有三个不同的解，记此三个解的积为T，求T的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由新定义，运用分段函数的形式求出f（x）的解析式，再由导数大于等于0恒成立，解不等式即可得到；
（2）由新定义，可以求出函数的解析式，进而求出x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x₁•x₂•x₃的取值范围．

解答 解：（1）由2x-1≤x-1，得x≤0，
此时f（x）=（2x-1）*（x-1）=（2x-1）²-k（2x-1）（x-1）=（4-2k）x²+（3k-4）x+1-k，
由2x-1＞x-1，得x＞0，
此时f（x）=（2x-1）*（x-1）=（x-1）²-k（2x-1）（x-1）=（1-2k）x²+（3k-2）x+1-k，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2（2-k）{x}^{2}+（3k-4）x+1-k，}&{x≤0}\\{（1-2k）{x}^{2}+（3k-2）x+1-k，}&{x＞0}\end{array}\right.$，
若f（x）在[-$\frac{1}{2}$，0]上为增函数，
则f（x）的导数f′（x）=4（2-k）x+3k-4≥0恒成立，
$\left\{\begin{array}{l}{-2（2-k）+3k-4≥0}\\{3k-4≥0}\end{array}\right.$，
解得，k≥$\frac{8}{5}$；
（2）要使方程f（x）=0恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，不妨设x₁＜x₂＜x₃，
则0＜x₂＜$\frac{1}{2}$＜x₃＜1，
且x₂和x₃关于x=$\frac{1}{2}$对称，
∴x₂+x₃=2×$\frac{1}{2}=1$．
则x₂+x₃$≥2\sqrt{{x}_{2}{x}_{3}}$，0＜x₂x₃$＜\frac{1}{4}$，等号取不到．
当-2x=$\frac{1}{4}$时，解得x=-$\frac{1}{8}$，
∴-$\frac{1}{8}$＜x₁＜0，
∵0＜x₂x₃$≤\frac{1}{4}$，
∴$-\frac{1}{32}$＜x₁•x₂•x₃＜0，
即T的取值范围是$（{-\frac{1}{32}，0}）$，

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，根据已知新定义，求出函数的解析式，同时考查了恒成立问题，属于中档题．