Question

7．关于x的不等式ax²+2x-3a＞0在x∈（1，3）恒成立，则实数a的取值范围是-1＜a＜1．

Answer 1

分析 分类讨论，分离参数，确定函数的单调性，求最值，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：x=$\sqrt{3}$时，恒成立；
x∈（1，$\sqrt{3}$）时，a＜$\frac{-2x}{{x}^{2}-3}$，
令y=$\frac{-2x}{{x}^{2}-3}$，则y′=$\frac{-2（x+1）（x-3）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$，
∵x∈（1，$\sqrt{3}$），∴y′＞0，
∴x∈（1，$\sqrt{3}$），函数单调递增，∴a＜1；
x∈（$\sqrt{3}$，3）时，a＞$\frac{-2x}{{x}^{2}-3}$，
令y=$\frac{-2x}{{x}^{2}-3}$，则y′=$\frac{-2（x+1）（x-3）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$，
∵x∈（$\sqrt{3}$，3），∴y′＞0，
∴x∈（$\sqrt{3}$，3），函数单调递增，∴a＞-1，
综上所述，-1＜a＜1．
故答案为：-1＜a＜1．

点评 本题考查恒成立问题，考查导数知识的综合运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．