Question

15．若函数f（x）=alnx（a＞0）的图象在x=1处的切线与圆x²+y²=b²（b＞0）相切，则$\frac{1}{{b}^{2}}-\frac{1}{{a}^{2}}$=1．

Answer 1

分析 求出导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程求得切线方程，再由直线和圆相切的条件，化简即可得到所求．

解答 解：函数f（x）=alnx（a＞0）的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$，
∴f（x）的图象在x=1处的切线斜率为k=a，
又切点为（1，0），
∴有在x=1处的切线方程为y=a（x-1），
∵由切线与圆x²+y²=b²（b＞0）相切，
∴$\frac{|a|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=b，即有$\frac{1}{{b}^{2}}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查直线和圆的位置关系：相切，考查运算能力，属于基础题．