Question

5．定义域为（0，+∞）的函数f（x），g（x），f（x）＜f′（x），g（x）＞g′（x），则（　　）

• A． 2013•f（ln2012）＜2012•f（ln2013）
  2014•g（2013）＞2013•g（2014）
• B． 2013•f（ln2012）＞2012•f（ln2013）
  2014•g（2013）＞2013•g（2014）
• C． 2013•f（ln2012）＞2012•f（ln2013）
  2014•g（2013）＜2013•g（2014）
• D． 2013•f（ln2012）＜2012•f（ln2013）
  2014•g（2013）＜2013•g（2014）

Answer 1

分析 根据题意，构造函数h（x）=$\frac{f（lnx）}{x}$，p（x）=$\frac{g（lnx）}{x}$，x＞1，利用导数判断这两个函数的单调性，从而得出正确的选项．

解答 解：根据题意，设h（x）=$\frac{f（lnx）}{x}$，且x＞1，
∴h′（x）=$\frac{f′（lnx）•\frac{1}{x}•x-f（lnx）}{{x}^{2}}$=$\frac{f′（lnx）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
∴h（x）是定义域上的增函数，
∴$\frac{f（ln2012）}{2012}$＜$\frac{f（ln2013）}{2013}$，
即2013•f（ln2012）＜2012•f（ln2013）；
同理，设p（x）=$\frac{g（lnx）}{x}$，x＞1，
∴p′（x）=$\frac{g′（lnx）-g（lnx）}{{x}^{2}}$＜0，
∴p（x）是定义域上的减函数，
∴$\frac{g（ln2013）}{2013}$＞$\frac{g（ln2014）}{2014}$，
即2014•g（ln2013）＞2013•g（ln2014）；
∴A正确．
故选：A．

点评 本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小的应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性问题，是基础题目．