Question

16．已知直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y²=4x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立方程化为k²x²+（2k²-4）x+k²=0，（k＞0）．可得根与系数的关系，利用焦点弦与抛物线的定义可得：|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1，
利用|FA|=2|FB|，联立解出即可．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为k²x²+（2k²-4）x+k²=0，（k＞0）．
∴x₁+x₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∵|FA|=2|FB|，|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1，
∴x₁+1=2（x₂+1），
化为x₁=2x₂+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2{x}_{2}+1}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\end{array}\right.$，
化为${k}^{2}=\frac{8}{9}$，
解得k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．