Question

7．已知函数f（x）=ax³-$\frac{3}{2}$（a+2）x²+6x-3，a=-2时，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在的极值．

Answer 1

分析 （1）当a=-2时，f（x）=-2x³+6x-3，f′（x）=-6x²+6=-6（x-1）（x+1），分别令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，解得x范围即可得出单调区间．
（2）利用（1）的单调性，列出表格，可得极值．

解答 解：（1）当a=-2时，f（x）=-2x³+6x-3，
f′（x）=-6x²+6=-6（x-1）（x+1），
令f′（x）＞0，解得-1＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞1．
∴函数f（x）的单调递增区间为[-1，1]，函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（1，+∞）．
（2）由（1）可知：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极小值，f（-1）=2-6-3=-7；当x=1时，函数f（x）取得极大值，f（1）=-2+6-3=1．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．