Question

2．双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{2}$，双曲线C的渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，△OAB（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（　　）

• A． y²=8x
• B． y²=4x
• C． y²=2x
• D． ${y^2}=4\sqrt{3}x$

Answer 1

分析 根据题意，设出双曲线C的方程，画出图形，结合图形求出抛物线上的点A坐标，即可求出抛物线方程．

解答 解：∵双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{2}$，
∴双曲线C为等轴双曲线，即a=b；
∴双曲线的渐近线方程为y=±x；
又∵双曲线的渐近线与抛物线y²=2px交于A，B两点；
则设点A（x₀，x₀）（x₀＞0），
又∵△OAB的面积为$\frac{1}{2}$x₀•2x₀=4，
∴x₀=2，
将（2，2）代入抛物线方程y²=2px
解得p=1，
∴抛物线的方程为y²=2x．
故选：C．

点评 本题考查了双曲线与抛物线的定义、几何性质的应用问题，是中档题．