Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，（x≤0）}\\{f（x-1）+1，（x＞0）}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-x-b有无穷多个零点，则实数b的取值范围为（　　）

• A． b∈（0，$\frac{1}{2}$]
• B． b∈[0，$\frac{1}{2}$）
• C． b∈（-∞，$\frac{1}{2}$]
• D． b∈（-∞，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 根据定义式确定f（x）在x在每段上解析式，画出函数图象，把函数g（x）=f（x）-x-b零点的个数，转化为函数f（x）与y=x+b交点个数，
运用图象判断交点个数为无穷个时，b的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，（x≤0）}\\{f（x-1）+1，（x＞0）}\end{array}\right.$，
∴当x≤0，f（x）=2^x-1，
当0＜x≤1时，f（x）=2^x-1，
当1＜x≤2时，f（x）=2^x-2+1，
当2＜x≤3时，f（x）=2^x-3+2，
当3＜x≤4时，f（x）=2^x-4+3，
归纳得出n＜x≤n+1，n∈N，f（x）=2^x-n-1+n

把函数g（x）=f（x）-x-b零点的个数，转化为函数f（x）与y=x+b交点个数，
根据图象可以判断：当0≤b$＜\frac{1}{2}$时，函数f（x）与y=x+b有无数个交点个数，
故选：B．

点评 本题综合考查了函数的性质，函数零点问题转化为函数交点个数问题，运用函数图象判断，关键是确定f（x）解析式，画出图象．