Question

3．已知函数f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在定义域上没有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，然后根据导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而得到极值点，求得极值；
（Ⅱ）利用导数求出原函数的最小值，把函数f（x）在定义域上没有零点，转化为需f（x）_min＞0，求解不等式可得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=1时，f（x）=x²-2lnx，${f}^{′}（x）=2x-\frac{2}{x}=\frac{2（x-1）（x+1）}{x}$，
当x∈（0，1）时，f′（x）0，
∴当x∈（0，1）时，f（x）为减函数；当x∈（1，+∞）时，f（x）为增函数．
f（x）_min=f（x）_极小值=f（1）=1；
（Ⅱ）${f}^{′}（x）=2x-\frac{2{a}^{2}}{x}=\frac{2（x-a）（x+a）}{2}$，
令f′（x）=0，解得：x=a或x=-a（舍）．
当x∈（0，a）时，f′（x）0，
∴f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），
∴$f（x）_{min}=f（a）={a}^{2}（1-2lna）$，
要使函数f（x）在定义域上没有零点，只需f（x）_min＞0或f（x）_max＜0，
又f（1）=1＞0，只需f（x）_min＞0，
∴$f{（x）_{min}}=f（a）={a^2}（1-2lna）＞0$，
解得：$0＜a＜\sqrt{e}$．
∴实数a的取值范围是$0＜a＜\sqrt{e}$．

点评 本题考查了利用导数求函数的最值，考查了函数零点的判定方法，考查了数学转化思想方法，是中高档题．