Question

13．数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，4a_n-S_n+1=2．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求证：数列{c_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）由4a_n-S_n+1=2．当n=1时，4a₁-（a₁+a₂）=2，解得a₂，当n≥2时，可得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．即可证明．
（2）由（1）可得：${b}_{n}=（-1）×{2}^{n-1}$，即a_n+1-2a_n=-2^n-1，变形$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=-$\frac{1}{4}$，又c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，即可证明．

解答 证明：（1）∵4a_n-S_n+1=2．∴当n=1时，4a₁-（a₁+a₂）=2，解得a₂=1．
当n≥2时，4a_n-1-S_n=2，4a_n-4a_n-1-a_n+1=0，∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
∴b_n=2b_n-1，∴数列{b_n}是等比数列，首项为a₂-2a₁=-1，公比为2；
（2）由（1）可得：${b}_{n}=（-1）×{2}^{n-1}$，
∴a_n+1-2a_n=-2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴${c}_{n+1}-{c}_{n}=-\frac{1}{4}$．
∴数列{c_n}是等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的定义及其通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．