Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（-1，2$\sqrt{5}$，2），$\overrightarrow{b}$=（1，0，-2，），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，并且实数t满足关于x的方程x²-2tx+2t²-7t+12=0有实根，当|c|取最小值时，求t的值．

Answer 1

分析 实数t满足关于x的方程x²-2tx+2t²-7t+12=0有实根，可得△≥0，解得3≤t≤4．利用向量的坐标运算、模的计算公式可得|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5（t-1）^{2}+20}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵实数t满足关于x的方程x²-2tx+2t²-7t+12=0有实根，
∴△=4t²-4（2t²-7t+12）≥0，解得3≤t≤4．
∵$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$=（-1，2$\sqrt{5}$，2）+t（1，0，-2，）=（-1+t，2$\sqrt{5}$，2-2t），
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（t-1）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}+（2-2t）^{2}}$=$\sqrt{5（t-1）^{2}+20}$≥$2\sqrt{10}$，当且仅当t=3时取得最小值，
∴t=3．

点评 本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、向量的线性运算、向量模的计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．