Question

10．坐标平面上的点集S满足S={（x，y）|log₂（x²-x+2）=2sin⁴y+2cos⁴y，y∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，将点集S中的所有点向x轴作投影，所得投影线段的长度为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{8\sqrt{2}-7}$
• D． 2

Answer 1

分析 先求出2sin⁴y+2cos⁴y=2-4sin²y•cos²y=2-（sin2y）²的范围，即可得出函数y=log₂（x²-x+2）的值域范围，从而求出函数函数y=log₂（x²-x+2）的定义域，进一步可求投影长度．

解答 解：1=（sin²y+cos²y）²=sin⁴y+cos⁴y+2sin²y•cos²y，
∴2sin⁴y+2cos⁴y=2-4sin²y•cos²y=2-（sin2y）²，
∵y∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，∴2y∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin2y≤1，
∴2-（sin2y）²∈[1，2]
∴log₂（x²-x+2）∈[1，2]，
∴2≤x²-x+2≤4，
∴-1≤x≤0，或1≤x≤2
故x的投影长度为1+1=2，
故选：D

点评 本题综合考查函数定义域与值域问题，考查的较为灵活，做题中要注意转化．