Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{ax}}{x}$（a∈R）．
（1）若曲线f（x）在x=1的切线与直线x+e²y+1=0垂直，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若f（x）在[1，2]上最小值为e，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的切线的斜率，由切线与直线x+e²y+1=0垂直求得a的值，再待回原函数，求出f（1）及f′（1），然后利用直线方程的点斜式得答案；
（2）由（1）知${f}^{′}（x）=\frac{{e}^{ax}（ax-1）}{{x}^{2}}$，然后对a分类分析原函数在区间[1，2]上的单调性，由单调性求出函数的最小值，再由最小值等于e求a的值．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{{e}^{ax}}{x}$（a∈R），得${f}^{′}（x）=\frac{ax{e}^{ax}-{e}^{ax}}{{x}^{2}}=\frac{{e}^{ax}（ax-1）}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=e^a（a-1），
∵x+e²y+1=0的斜率为$-\frac{1}{{e}^{2}}$，
由题意可得$-\frac{1}{{e}^{2}}•{e}^{a}（a-1）=-1$，即a=2．
∴f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}$，f（1）=e²，f′（1）=e²，
∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y-e²=e²（x-1），即y=e²x；
（2）由（1）知${f}^{′}（x）=\frac{{e}^{ax}（ax-1）}{{x}^{2}}$，
当a≤0时，f′（x）＜0在x∈[1，2]上成立，f（x）在[1，2]上为减函数，
$f（x）_{min}=f（2）=\frac{{e}^{2a}}{2}$，由$\frac{{e}^{2a}}{2}=e$，解得$a=\frac{ln2+1}{2}$＞0，不合题意；
若a＞0，则当$\frac{1}{a}≤1$，即a≥1时，f′（x）≥0在x∈[1，2]上成立，f（x）在[1，2]上为增函数，
$f（x）_{min}=f（1）={e}^{a}$，由e^a=1，解得a=0，不合题意；
当$\frac{1}{a}≥2$，即0$＜a≤\frac{1}{2}$时，f′（x）≤0在x∈[1，2]上成立，f（x）在[1，2]上为减函数，
$f（x）_{min}=f（2）=\frac{{e}^{2a}}{2}$，由$\frac{{e}^{2a}}{2}=e$，解得$a=\frac{ln2+1}{2}$；
当$1＜\frac{1}{a}＜2$，即$\frac{1}{2}＜a＜1$时，f′（x）＜0在（1，$\frac{1}{a}$）上成立，f′（x）＞0在（$\frac{1}{a}，2$）上恒成立，
∴f（x）在（1，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}，2$）上单调递增，
∴$f（x）_{min}=f（\frac{1}{a}）=ea$，由ea=e，解得a=1，不合题意．
综上，使f（x）在[1，2]上最小值为e的a的值为$\frac{ln2+1}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化、分类讨论等数学思想方法，属难题．