Question

9．已知关于x的不等式m-|x-2|≥1，其解集为[0，4]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉绝对值，求出解集，利用解集为[0，4]，求m的值；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求a²+b²的最小值．

解答 解：（Ⅰ）不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1，…（1分）
∴1-m≤x-2≤m-1，即3-m≤x≤m+1，…（2分）
∵其解集为[0，4]，∴$\left\{\begin{array}{l}{3-m=0}\\{m+1=4}\end{array}\right.$，∴m=3．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=3，
∵（a²+b²）（1²+1²）≥（a×1+b×1）²=（a+b）²=9，
∴a²+b²≥$\frac{9}{2}$，∴a²+b²的最小值为$\frac{9}{2}$．…（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查柯西不等式，正确运用柯西不等式是关键．