Question

14．在△ABC中，∠A=60°，∠A的内角平分线AD将BC分成BD、DC两段，若向量$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}（λ∈{R}）$，则∠B=（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 由向量$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}（λ∈{R}）$，推导出λ=$\frac{2}{3}$，从而得到|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{AC}$|，再由已知条件求出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$，就能求出角C的大小，从而可得角B的大小．

解答 解：∵△ABC中，∠A=60°，角A的平分线AD将BC分成BD、DC两段，
且$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}（λ∈{R}）$，
∴λ=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{DC}|}=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}=2$，
从而得到|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{AC}$|，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=|$\overrightarrow{AC}$|²-2|$\overrightarrow{AC}$|²×cos60°
=|$\overrightarrow{AC}$|²-|$\overrightarrow{AC}$|²=0，
∴$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴∠C=90°，
又|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{AC}$|，
所以∠B=30°．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积的计算，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．