Question

4．求证：$\frac{1}{{A}_{2}^{2}}$+$\frac{2}{{A}_{3}^{3}}$+$\frac{3}{{A}_{4}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{A}_{n}^{n}}$=1-$\frac{1}{n!}$．

Answer 1

分析 由排列数公式化简${A}_{n+1}^{n+1}$-${A}_{n}^{n}$=n${A}_{n}^{n}$得：n=$\frac{（n+1）!-n!}{n!}$，再化简$\frac{n-1}{{A}_{n}^{n}}$，利用裂项相消法化简左边的求和式子即可．

解答 证明：∵${A}_{n+1}^{n+1}$-${A}_{n}^{n}$=n${A}_{n}^{n}$，∴$n=\frac{{A}_{n+1}^{n+1}-{A}_{n}^{n}}{{A}_{n}^{n}}$=$\frac{（n+1）!-n!}{n!}$，
∴当n≥2时，n-1=$\frac{n!-（n-1）!}{（n-1）!}$，
又${A}_{n}^{n}=n!$，n≥2，∴$\frac{n-1}{{A}_{n}^{n}}$=$\frac{n-1}{n!}$=$\frac{n!-（n-1）!}{n!（n-1）!}$=$\frac{1}{（n-1）!}$-$\frac{1}{n!}$，
∴$\frac{1}{{A}_{2}^{2}}$+$\frac{2}{{A}_{3}^{3}}$+$\frac{3}{{A}_{4}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{A}_{n}^{n}}$=（$\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}$）+（$\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}$）+…+（$\frac{1}{（n-1）!}$-$\frac{1}{n!}$）
=1-$\frac{1}{n!}$，
所以原等式成立．

点评 本题考查用排列组合数，以及裂项相消法求数列的和，由${A}_{n+1}^{n+1}$-${A}_{n}^{n}$=n${A}_{n}^{n}$化简$\frac{n-1}{{A}_{n}^{n}}$是解题的关键，是一道综合题，属于难题．