Question

9．已知实数a，b，c满足a＜b＜c，$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=6}\\{ab+bc+ca=9}\end{array}\right.$．
（1）（b-5）（c-5）的最小值是$\frac{15}{4}$；
（2）下列命题中：①0＜a＜1，②1＜b＜3，③3＜c＜4，其中真命题的序号是①②③．

Answer 1

分析 （1）由a+b+c=6，可得b+c=6-a，由ab+bc+ac=9，可得bc=9-a（b+c）=a²-6a+9，代入（b-5）（c-5）=bc-5（b+c）+25，再利用二次函数的单调性即可得出；
（2）①由a＜b＜c，a+b+c=6，可得6＞3a，可得2＞a．由（1）可知：b，c为方程x²-（6-a）x+（a²-6a+9）=0的两个实数根，△＞0，及a＜2，解得0＜a＜2．
解得$b=\frac{（6-a）-\sqrt{12a-3{a}^{2}}}{2}$，利用$\frac{（6-a）-\sqrt{12a-3{a}^{2}}}{2}$＞a，解出即可；②③类比①即可判断出．

解答 解：（1）由a+b+c=6，可得b+c=6-a，
由ab+bc+ac=9，可得bc=9-a（b+c）=9-a（6-a）=a²-6a+9，
∴（b-5）（c-5）=bc-5（b+c）+25=a²-6a+9-5（6-a）+25=a²-a+4=$（a-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{15}{4}$$≥\frac{15}{4}$，当a=$\frac{1}{2}$，$b=\frac{11-\sqrt{21}}{4}$，$c=\frac{11+\sqrt{21}}{4}$时，取等号．
（2）①由a＜b＜c，a+b+c=6，可得6＞3a，∴2＞a．
由（1）可得：b+c=6-a，bc=a²-6a+9，
则b，c为方程x²-（6-a）x+（a²-6a+9）=0的两个实数根，△＞0，及a＜2，解得0＜a＜2．
∴$x=\frac{（6-a）±\sqrt{12a-3{a}^{2}}}{2}$，
由a＜b＜c，取$b=\frac{（6-a）-\sqrt{12a-3{a}^{2}}}{2}$，
则$\frac{（6-a）-\sqrt{12a-3{a}^{2}}}{2}$＞a，化为a²-4a+3＞0，又0＜a＜2，解得0＜a＜1．因此①正确；
②由a＜b＜c，a+b+c=6，可得
a+c=b．
由（1）可得：a+c=6-b，ac=b²-6b+9，
则a，c为方程x²-（6-b）x+（b²-6b+9）=0的两个实数根，△＞0，及1≤b，解得1≤b＜4．
解得$x=\frac{（6-b）±\sqrt{12b-3{b}^{2}}}{2}$，取c=$\frac{（6-b）+\sqrt{12b-3{b}^{2}}}{2}$，
由b＜c，化为b²-4b+3＜0，
解得1＜b＜3，
综上可得：1＜b＜3，因此②正确．
③类比①②可知：③正确．
故答案分别为：$\frac{15}{4}$；①②③．

点评 本题考查了不等式的性质、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了分析问题与解决问题的能力及其变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．