Question

14．如图，已知点F为抛物线C：y²=4x的焦点，点P是其准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A、B两点．若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为（4，+∞）．

Answer 1

分析 由抛物线C：y²=4x可得焦点F（1，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线PF的方程为：y=k（x-1）．与抛物线方程联立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用根与系数的关系和弦长公式，求出点D（-1，0）到直线AB的距离d．再利用S_△DAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|，即可得出所求范围．

解答 解：由抛物线C：y²=4x可得焦点F（1，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线PF的方程为：y=k（x-1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化为k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（2+\frac{4}{{k}^{2}}）^{2}-4}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$．
点D（-1，0）到直线AB的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△DAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$
=4$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}$＞4．
∴△DAB的面积S的取值范围为（4，+∞）．
故答案为：（4，+∞）．

点评 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立，同时考查根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．