Question

19．如图已知抛物线 C：y²=2px（p＞0）的准线为 l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线t，交 l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
（I）求圆M和抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知点N（4，0），设G，H是抛物线上异于原点O的两个不同点，且N，G，H三点共线，证明：$\overrightarrow{OG}⊥\overrightarrow{OH}$并求△GOH面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由|AO|=2，$\frac{p}{2}$=OAcos60°可求得p，从而可求得抛物线C的方程；继而可求得圆M的半径r，从而可求其方程；
（Ⅱ）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由N，G，H三点共线，设GH：x=ay+4，代入抛物线方程运用韦达定理，结合抛物线方程可得x₁x₂+y₁y₂=0，可得$\overrightarrow{OG}⊥\overrightarrow{OH}$；利用三角形的面积公式，结合基本不等式即可求得△GOH面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵|AO|=2，$\frac{p}{2}$=|OA|cos60°，即p=2，
∴所求抛物线C的方程为y²=4x；
∴设圆的半径为r，则r=$\frac{1}{2}$|OB|•$\frac{1}{cos60°}$=2，
∴圆的方程为（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）证明：设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由N，G，H三点共线，设GH：x=ay+4，
代入抛物线方程可得y²-4ay-16=0，
可得y₁y₂=-16，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴x₁x₂=16，
得x₁x₂+y₁y₂=0，可得$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=0；
∵S_△GOH=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OG}$|•|$\overrightarrow{OH}$|，
∴S²_△GOH=$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{OG}$|²•|$\overrightarrow{OH}$|²=$\frac{1}{4}$（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²）
=$\frac{1}{4}$（x₁²+4x₁）（x₂²+4x₂），
=$\frac{1}{4}$[（x₁x₂）2+4x₁x₂（x₁+x₂）+16x₁x₂]
≥$\frac{1}{4}$[（x₁x₂）2+4x₁x₂•2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$+16x₁x₂]
=256，
∴S_△GOH≥16，当且仅当x₁=x₂=4时取等号，
∴△GOH面积最小值为16．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查圆的标准方程与抛物线的标准方程，考查基本不等式，突出抽象思维能力与运算能力的考查，属于中档题．