Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2$\sqrt{2}$，AP=AD=AB=$\sqrt{2}$，∠PAB=∠PAD=α．
（1）试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时$\frac{AE}{EP}$的值；
（2）当α=60°时，求证：CD⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE；
（2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD，过A作AF⊥BD，则F为BD的中点，
利用勾股定理可以判断线线垂直，进一步判断线面垂直．

解答 解：（1）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE，
此时AE：EP=AO：OC=AD：BC=$\sqrt{2}$：$2\sqrt{2}$=1：2；

（2）当α=60°时，△PAD和△PAB都是等边三角形，PB=PD，
过A作AF⊥BD，则F为BD的中点，

所以PF⊥BD，BD=2，所以AF=PF=$\frac{1}{2}$BD=1，所以PF²+AF²=PA²，所以PF⊥AF，
所以PF⊥平面ABCD，
所以PF⊥CD，
过D作DH⊥BC，则DH=AB=$\sqrt{2}$，HC=$\sqrt{2}$，所以CD=2，所以CD²+BD²=BC²，所以CD⊥BD，
BD∩PF=F，
所以CD⊥平面PBD．

点评 本题考查了线面平行的判定以及线面垂直的判定定理和性质定理的运用；关键是适当作辅助线，将问题转化为线线关系解答．