Question

1．设F₁，F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆E上，且点P和F₁关于点C（0，$\frac{3}{4}$）对称．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过右焦点F₂的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求F₁（-1，0），再根据椭圆定义求得a、b即可；
（2）设直线l的方程为y=k（x-1）、直线PQ的方程为y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），分别与椭圆方程联立，消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），由韦达定理及PB与AQ的中点重合，可解得$k=\frac{3}{4}$，从而直线l方程为3x-4y-3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分．

解答 解：（1）∵点P（1，$\frac{3}{2}$）和F₁关于点C（0，$\frac{3}{4}$）对称，∴F₁（-1，0），
∴椭圆E的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），
由椭圆定义，得2a=|PF₁|+|PF₂|=4，
从而a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分．
理由如下：
由题可知直线l、直线PQ的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x-1）、直线PQ的方程为y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$     消去y，
得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
根据题意可知△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理可知x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y-\frac{3}{2}=k（x-1）}\end{array}\right.$   消去y，
得（3+4k²）x²-（8k²-12k）x+4k²-12k-3=0，
由△＞0，可知$k≠-\frac{1}{2}$，设Q（x₃，y₃），又P（1，$\frac{3}{2}$），
则1+x₃=$\frac{8{k}^{2}-12k}{3+4{k}^{2}}$，1•x₃=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
若四边形PABQ的对角线互相平分，则有PB与AQ的中点重合，
所以$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}=\frac{1+{x}_{2}}{2}$，即x₁-x₂=1-x₃，
故$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}=（1-{x}_{3}）^{2}$，
所以（$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$）²-4•$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=（1-$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$）²，
解得$k=\frac{3}{4}$，
从而直线l方程为3x-4y-3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分．

点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键．