Question

16．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₂的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF₁|=|F₁F₂|，且3|PF₂|=2|QF₂|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{7}{5}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为$\frac{3}{2}d$．过Q作l的垂线QQ₁，而过P作QQ₁的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有$\frac{c-\frac{{a}^{2}}{c}-d}{\frac{1}{2}d}=\frac{2}{5}$，这样即可求得d=$\frac{5c-\frac{5{a}^{2}}{c}}{6}$，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF₂|=2c-2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到$\frac{2c-2a}{\frac{5c-\frac{5{a}^{2}}{c}}{6}}=\frac{c}{a}$，进一步可整理成$5（\frac{c}{a}）^{2}-12（\frac{c}{a}）+7=0$，这样解关于$\frac{c}{a}$的方程即可．

解答 解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；
过P作PP₁⊥l，QQ₁⊥l，分别交l于P₁，Q₁；
∵$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{P}_{1}|}=\frac{|Q{F}_{2}|}{|Q{Q}_{1}|}$，3|PF₂|=2|QF₂|；
∴$\frac{d}{|Q{Q}_{1}|}=\frac{2}{3}$，$|Q{Q}_{1}|=\frac{3}{2}d$；
过P作PM⊥QQ₁，垂直为M，交x轴于N，则：$\frac{|N{F}_{2}|}{|MQ|}=\frac{c-\frac{{a}^{2}}{c}-d}{\frac{1}{2}d}=\frac{2}{5}$；
∴解得d=$\frac{5c-\frac{5{a}^{2}}{c}}{6}$；
∵根据双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a，∴|PF₂|=2c-2a；
∴根据双曲线的第二定义，$\frac{2c-2a}{\frac{5c-\frac{5{a}^{2}}{c}}{6}}=\frac{c}{a}$；
整理成：$5（\frac{c}{a}）^{2}-12（\frac{c}{a}）+7=0$；
∴解得$\frac{c}{a}=\frac{7}{5}，或\frac{c}{a}=1$（舍去）；
即该双曲线的离心率为$\frac{7}{5}$．
故选A．

点评 考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系．