Question

8．如图A、B、C是圆O上三个点，AD是∠BAC的平分线，交圆O于D，过B作圆O的切线交AD的延长线于E．
（Ⅰ）求证：BD平分∠EBC；
（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．

Answer 1

分析 （I）利用BE是圆的切线，证明∠BAD=∠DBC=∠EBD，可得BD平分∠EBC．
（II）通过△ABE∽△BDE，得到$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BE}$，结合BD=DC，证明AB•BE=AE•DC．

解答 证明：（I）∵BE是圆的切线，∴∠EBD=∠BAD，
而∠DBC=∠DAC，又AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，∴∠BAD=∠DBC=∠EBD，
∴BD平分∠EBC；…（5分）
（II）由（I）可证△ABE∽△BDE，∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BE}$，AB•BE=AE•BD
又AD是∠BAC的平分线，∴BD=DC，
∴AB•BE=AE•DC．…（10分）

点评 本题考查角的平分线，三角形相似的证明与应用，考查逻辑推理能力．