Question

19．设函数f（x）=x²-2lnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）令g（x）=f（x）-x²+$\frac{a}{x}$（1≤x≤3），其图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k≤2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：对于任意正整数n，有1²+2²+3²+…+n²-ln（1²•2²•3³•…•n²）＞ln（$\frac{e}{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 （1）先求函数的定义域，再求导并令f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=2$\frac{{x}^{2}-1}{x}$=0，从而确定导数的正负以确定函数的单调性，
（2）化简g（x）=f（x）-x²+$\frac{a}{x}$=-2lnx+$\frac{a}{x}$（1≤x≤3），再求导可得g′（x）=-$\frac{2}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，从而可得a≥-2${x}_{0}^{2}$-2x₀（1≤x₀≤3）恒成立；令m（x₀）=-2${x}_{0}^{2}$-2x₀，从而化为最值问题即可；
（3）由题意可得，1²-2ln1≥1，2²-2ln2≥1，3²-2ln3≥1，…，n²-2lnn≥1，相加化简即可．

解答 解：（1）∵f（x）的定义域是（0，+∞），
∴解f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=2$\frac{{x}^{2}-1}{x}$=0得，
x=1或x=-1（舍去）；
∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）；
（2）g（x）=f（x）-x²+$\frac{a}{x}$=-2lnx+$\frac{a}{x}$（1≤x≤3），
g′（x）=-$\frac{2}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
k=g′（x₀）=-$\frac{2}{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{{2x}_{0}+a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤2（1≤x₀≤3）；
即a≥-2${x}_{0}^{2}$-2x₀（1≤x₀≤3）恒成立；
即a≥（-2${x}_{0}^{2}$-2x₀）_max（1≤x₀≤3），
令m（x₀）=-2${x}_{0}^{2}$-2x₀，有m（x₀）在[1，3]上单调递减，
∴m（x₀）_max=m（1）=-4；
∴a≥-4；
（3）证明：由（1）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
∴f（x）≥f（1）=1，
∴1²-2ln1≥1，
2²-2ln2≥1，
3²-2ln3≥1，
…
n²-2lnn≥1，
以上n个式子相加，
1²+2²+3²+…+n²-2（ln1+ln2+ln3+…+lnn）≥n，
即1²+2²+3²+…+n²-ln（1²2²3²…n²）≥nlne＞nln$\frac{e}{2}$；
∴1²+2²+3²+…+n²-ln（1²2²3²…n²）＞ln$（\frac{e}{2}）^{n}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了导数的几何意义的应用及单调性在证明不等式中的应用，属于难题．