Question

7．袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为$\frac{1}{7}$，每个球被取到的机会均等．现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为x．
（1）求袋子中白球的个数；
（2）求x的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设袋子中有n，（n∈N）个白球，$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{7}^{2}}=\frac{1}{7}$，求解n即可．
（2）由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球，X的可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 （本小题满分12分）
（1）解：设袋子中有n，（n∈N）个白球，依题意得，$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{7}^{2}}=\frac{1}{7}$，…（1分）
即$\frac{\frac{n（n-1）}{2}}{\frac{7×6}{2}}=\frac{1}{7}$，化简得，n²-n-6=0，…（2分）
解得，n=3或n=-2（舍去）．…（3分）
∴袋子中有3个白球．…（4分）
（2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球．…（5分）
X的可能取值为0，1，2，3，…（6分）
P（X=0）=$\frac{4}{7}$，P（X=1）=$\frac{3}{7}×\frac{4}{6}=\frac{2}{7}$，
P（X=2）=$\frac{3}{7}×\frac{2}{6}×\frac{4}{5}=\frac{4}{35}$，
P（X=3）=$\frac{3}{7}×\frac{2}{6}×\frac{1}{5}×\frac{4}{4}=\frac{1}{35}$．…（10分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{1}{35}$

…（11分）
∴EX=$0×\frac{4}{7}+1×\frac{2}{7}+2×\frac{4}{35}+3×\frac{1}{35}$=$\frac{3}{5}$．…（12分）

点评 本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．