Question

12．已知函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x-4，则当f（sinα）+f′（cosβ）（α、β∈[0，2π））取得最大值时，α+β=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，化简f（sinα）+f′（cosβ），结合三次函数的单调性以及一元二次函数的单调性进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=-x²+2x+3，
则f（sinα）+f′（cosβ）=-$\frac{1}{3}$（sinα）³+（sinα）²+3sinα-4-（cosβ）²+2cosβ+3
=-$\frac{1}{3}$（sinα）³+（sinα）²+3sinα-（cosβ-1）²，
设g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x，
则g′（x）=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3），
则当-1≤x≤1时，g′（x）≥0，即函数g（x）在[-1，1]上为增函数，
∴当sinα=1时，y=-$\frac{1}{3}$（sinα）³+（sinα）²+3sinα的取得最大值，
设y=-（cosβ-1）²，则当cosβ=1时，y=-（cosβ-1）²，取得最大值．
故此时f（sinα）+f′（cosβ）（α、β∈[0，2π））取得最大值时，
∵α、β∈[0，2π），
∴α=$\frac{π}{2}$，β=0，
则α+β=$\frac{π}{2}$，
故答案为：$\frac{π}{2}$

点评 本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，利用三次函数和一元二次函数的单调性是解决本题的关键．