Question

20．若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有三个零点x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，有下列结论：（1）b²＞3ac；（2）a•f′（x）＞0；（3）a•f′（x₃）＞0；（4）x₁+x₂+x₃=-$\frac{b}{a}$ 其中正确命题的个数共有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 （1）若有三个不同的零点，则原函数必有两个不等的极值点，故导函数的判别式大于零；
（2）显然不成立，可以举个反例；
（3）可以结合函数的图象加以分析；
（4）可以借助于函数的零点式解析式进行分析．

解答 解：（1）若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有三个不同零点，则该函数必有两个极值点，所以f（x）=3ax²+2bx+c=0有两个不同的根，所以△=（2b）²-12ac＞0，即b²＞3ac．故（1）正确；
（2）令f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）=x³-6x²+11x-6，所以af′（x）=3x²-12x+11，该函数的判别式△=12＞0，故af′（x）的值有正有负，故（2）错误；
（3）由题意可作出函数图象如下：a＜0时：

此时f′（x₃）＜0，故af′（x₃）＞0．
同理可知，当a＞0时，f′（x₃）＞0，则af′（x₃）＞0．所以（3）正确；
（4）令f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）=$a{x}^{3}-a（{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}）{x}^{2}+$a（x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃）x-ax₁x₂x₃．
结合f（x）=ax³+bx²+cx+d可知，b=-a（x₁+x₂+x₃），所以${x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=-\frac{b}{a}$．故（4）正确．
故选B

点评 本题考查了命题真假判断方法，同时重点考查了利用函数的图象研究函数性质的思想方法．