Question

15．已知正方形ABCD的外接圆的圆心O为坐标原点，直线AB的方程为x+2y-5=0．
（Ⅰ）求直线AD的方程及圆O的方程；
（Ⅱ）是否存在两个点M和N，使得圆O上任意一点P到点M的距离与到点N的距离之比为$\frac{1}{2}$？如果存在，写出两点的坐标，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点到直线距离公式可求得直线AB到原点距离，继而可得正方形边长，然后勾股定理可得外接圆半径，然后求解外接圆方程，设出AD的方程，然后求解直线AD的方程．
（Ⅱ）结合圆的对称性，不妨设M、N在x轴上，利用条件列出P的方程，与第一问的结果比较，得到方程组，即可求解是否存在M、N．

解答 解：（Ⅰ）正方形ABCD的外接圆的圆心O为坐标原点，直线AB的方程为x+2y-5=0．
圆心到直线的距离为：$\frac{5}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，圆的半径为：$\sqrt{10}$，所求圆的方程为：x²+y²=10，
直线AB的斜率为：-$\frac{1}{2}$，所以AD的斜率为：2，
则AD的方程为：y=2x+b，$\frac{\left|b\right|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，解得b=±5，
所求AB 的方程为：y=2x$±\sqrt{5}$．
（Ⅱ）圆的对称性可知，不妨设M（a，0），N（c，0）．P（x，y）
由题意圆O上任意一点P到点M的距离与到点N的距离之比为$\frac{1}{2}$，可得：$\frac{（x-a）^{2}+{y}^{2}}{（{x-c）}^{2}+{y}^{2}}=\frac{1}{4}$，
化简可得3x²+3y²-（8a-2c）x=c²-4a²．就是x²+y²=10，
可得8a-2c=0并且$\frac{{c}^{2}-4{a}^{2}}{3}=10$，解得a=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，c=$\sqrt{10}$，或a=-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，c=-$\sqrt{10}$．
∴存在两个点M和N．

点评 本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．