Question

6．设抛物线y²=8x的焦点是F，有倾角为45°的弦AB，|AB|=8$\sqrt{5}$．
（1）求直线AB方程，
（2）求△FAB的面积．

Answer 1

分析 （1）设AB方程为y=x+b，代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，可得b=-3，进而得到直线方程；
（2）求得抛物线的焦点，运用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，计算即可得到．

解答 解：（1）设AB方程为y=x+b
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，消去y得：x²+（2b-8）x+b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则△=（2b-8）²-4b²＞0，解得b＜2．
且x₁+x₂=8-2b，x₁•x₂=b²．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2[（8-2b）^{2}-4{b}^{2}]}$=8$\sqrt{5}$，
解得：b=-3，
∴直线方程为y=x-3，即x-y-3=0；    
（2）抛物线y²=8x的焦点是F（2，0），
即有F到直线x-y-3=0的距离为d=$\frac{|2-0-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则△FAB的面积S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×8$\sqrt{5}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查点到直线的距离公式和三角形的面积计算，属于中档题．