Question

18．设集合M={x|f（x）=x}，N={f（f（x））=x}．
（1）求证：M⊆N；
（2）若f（x）是一个在R上单调递增的函数，是否有M=N？若是，请证明．

Answer 1

分析 （1）用所给定义证明M⊆N，
（2）根据单调性用反证法证明N⊆M，即可得出结论．

解答 证明：任取x₀∈M，则f（x₀）=x₀，f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，
∴x₀∈N，∴M⊆N；
（2）M=N．
任取y₀∈N，f（f（y₀））=y₀，
若f（y₀）≠y₀，不妨设f（y₀）＞y₀，
由单调递增可知：f（f（y₀））＞f（y₀）＞y₀，与f（f（y₀））=y₀矛盾，
同理f（y₀）＜y₀也矛盾，所以f（y₀）=y₀，∴N⊆M，
∵M⊆N，
∴M=N．

点评 本题考查函数单调性、集合运算，考查学生推理论证能力及运用所学知识分析问题解决新问题的能力，综合性强，难度大．