Question

9．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点M（1，-2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ） 过抛物线焦点F的直线l与抛物线C相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），点D在抛物线C的准线上，且满足直线BD平行x轴，试判断坐标原点O与直线AD的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （I）将M（1，-2）代入y²=2px，得（-2）²=2p•1，解得p即可得出．
（II）判断坐标原点O在直线AD上．现证明如下：依题意可设过F的直线l方程为：x=my+1（m∈R），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（-1，y₂）．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，只要证明k_OA-k_OD=0即可．

解答 解：（I）将M（1，-2）代入y²=2px，得（-2）²=2p•1，
解得p=2．
故所求的抛物线C的方程为：y²=4x，
其准线方程为x=-1．
（II）判断坐标原点O在直线AD上，
现证明如下：依题意可设过F的直线l方程为：x=my+1（m∈R），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（-1，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得：y²-4my-4=0，
依题意可知△＞0恒成立，且y₁y₂=-4，
又∵${k_{OA}}-{k_{OD}}=\frac{y_1}{x_1}-\frac{y_2}{-1}=\frac{{-{y_1}-{x_1}{y_2}}}{{-{x_1}}}=\frac{{-{y_1}-（\frac{{{y_1}^2}}{4}）{y_2}}}{{-{x_1}}}=\frac{{4{y_1}+{y_1}^2{y_2}}}{{4{x_1}}}=\frac{{{y_1}（4+{y_1}{y_2}）}}{{4{x_1}}}$，
又∵y₁y₂=-4，
∴k_OA-k_OD=0，
即证坐标原点O在直线AD上．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．