Question

4．平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=1，则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的取值范围[$-\frac{1}{9}$，1]．

Answer 1

分析 设两个向量的夹角为θ，将已知的等式两边平方，求出两个向量的模相等，将所求用夹角表示，通过三角函数的值域求出向量$\overrightarrow{a}$的模的平方的范围，进一步求数量积的范围．

解答 解：设两个向量的夹角为θ，
因为|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=1，
所以$4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=1$，${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}=1$，
所以${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{b}}^{2}$，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\frac{5{\overrightarrow{a}}^{2}-1}{4}$
所以5${\overrightarrow{a}}^{2}-4{\overrightarrow{a}}^{2}cosθ$=1，所以${\overrightarrow{a}}^{2}=\frac{1}{5-4csoθ}$$∈[\frac{1}{9}，1]$，所以5a²-1∈[$-\frac{4}{9}，4$]，
$\frac{5{a}^{2}-1}{4}∈$[$-\frac{1}{9}$，1]，
所以$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$$∈[-\frac{1}{9}，1]$；
故答案为：[$-\frac{1}{9}$，1]．

点评 本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．